“专科开放教育”
《数论初步》期末复习指导
四川电大
“数论初步”课程是广播电视大学小教专业的一门限选修课。小教专业专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。
通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式的基本知识，掌握数论中的最基本理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。
教学要求与要求
有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道，了解和理解”三个层次要求：有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
一、 整数的整除性
（一）教学内容
1、整除的概念
两个整数整除的概念，约数与倍数的概念。带余除法
2、整除性定理
和，差的整除性定理，积的整除性定理，关于余数的整除性定理。
3、奇数与偶数
奇数、偶数的概念，奇偶性分析
4、最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数的概念、性质及求法，辗转相除法。
5、质数与合数、算术基本定理
质数与合数的概念及判定，算术基本定理
（二）教学基本要求
1、理解整数整除、公约数、公倍数的概念及相关性质、熟练掌握用剩定理求最大公约数、最小公倍数的方法。
2、理解质数与合数的概念、质数的性质、理解整数的质数分解定理，会用求质数。
重点：整除、公约数、质数的概念及性质、求最大公约数的方法，辗转相除法，整数质素数分解定理。
难点：辗转相除法，整数质素数分解定理。
二、不定方程
（一）教学内容
1、二元一次不定方程
二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。
2、多元一次不定方程
多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。
3、不定方程x2+y2=z2
不定方程x2+y2=z2的整数解的形式，求形如ax2+by2=cz2的整数解，Fermat大定理的简单介绍。
重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。
难点：不定方程x2+y2=z2的整数解的形式，求解形如ax2+by2=cz2的整数解。
（二）教学基本要求
1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。
2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。
3、知道不定方程x2+y2=z2的整数解的形式，求形如ax2+by2=cz2的整数解。
三、同余与同余式（一）数学内容
1、同余的概念及性质
同余的概念、同余的基本性质。
2、数的整除特征
整系数整值多项式的同余的性质，数的整除特征，弃九法
3、一次同余式
同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式，同余式两端公约数的约去，不定方程的同余解法。
4、中国剩余定理
中国剩余定理，中国剩余定理的应用，高次同余式
3、重点：同余、数的整除特征、一次同余式有解的条件，同余式两端公约数的约去，求解同余式，不定方程的同余解法
4、难点：中国剩余定理
（二）教学基本要求
1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、熟练掌握整系数整值多项式的同余的性质，数的整除特征
3、理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。熟练掌握同余式两端公约数的约去
4、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。
二、数论初步练习题
（一）选择题
１．两个奇数的和是 ( )
Ａ、奇数 Ｂ、偶数 Ｃ、不确定
２．自然数2 ( )
Ａ、是质数 Ｂ、是合数 Ｃ、既不是质数也不是合数
３．不能被2整除的数一定是 ( )
Ａ、合数 Ｂ、质数 Ｃ、奇数
４．奇数与偶数的乘积是 ( )
Ａ、奇数 Ｂ、偶数 Ｃ、不确定
（二）填空题
１．设 是任意两个整数，其中 不为0，如果存在整数 使得________
成立，我们就说 整除 ，或 被 整除。
２．如果整数 能被 整除（ 不为0），那么 就叫做 的_________
就叫做 的约数。
３．非0整数的约数个数是___________，0的约数个数是___________。
４．存在______________个质数。
５．若 可除尽 ，则称 与 对于模数 _______________。
６．如果一个偶数能被一个奇数整除，那末所得的商是_______________。
７．能被4整除的数的特征是，这个数的______________________能被4整除。
８．若整数 与 对模 同余，那么 与 也对于模 同余，同余的这个性质叫做同余的_________________。
三、计算题
１．求41，114的最大公因子。
２．求上题对应的裴蜀等式。
３．解同余方程
４．解同余方程组
四、证明题
证明：
数论初步练习题答案
一、
选择题
１、Ｂ ２、Ｃ ３、Ｃ ４、Ｂ
二、
填空题
１、
２、倍数
３、有限的 无穷多
４、无穷多
５、同余
６、偶数
７、末两位组成的数
８、对称性
三、
计算题
１、求41，114的最大公因子。
解：114=2·41+32，
41=1·32+9，
32=3·9+5，
9=1·5+4，
5=1·4+1，
4=4·1，
所以（41，114）=1，
[若不考虑下题，可解得更简单；41是质数，但不是114的约数，所以（41，114）=1]
２、求上题对应裴蜀等式。
解：1＝5－1·4
＝5-(9－1·5)
＝2·5－9
＝2(32－3·9)－9
＝2·32－7·9
＝2·32－7(41－1·32)
＝9·32－7·41
＝9(114－2·41)－7·41
＝9·114－25·41
命 ，则对应的裴蜀等式为
３、解同余方程
解：原方程
故
４、解同余方程组
解：
故上述方程组的解为
四、证明题（20分）
证明：若 ，且 ，则 。
，由裴蜀定理，存在整数 使得
