常微分方程课程教学大纲及实施意见

常微分方程课程教学大纲及实施意见

责任教师吴旗东

一、课程的性质与任务

常微分方程是数学的一个重要分支，也是数学理论联系实际的重要渠道之一，它是与微积分同时产生和发展起来的。随着科学技术和数学各分支的发展，常微分方程的理论日益丰富多采，富有生命力。

常微分方程是大学数学专业的一门基础课，在教学计划中是选修课，它在解析几何、数学分析、高等代数之后开课，本课程着重讲授常微分方程理论中一些最基本、最重要的经典问题和一些简单的应用，例如初等解法，解的理论，线性方程的理论和解法，一阶线性和拟线性偏微分方程的理论和解法，为了使学生对常微分方程的进一步内容有所了解，本课程也简略地介绍了常微分方程定性理论和稳定性理论。

通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础。

二、课程内容、要求与说明

(一)初等积分法(学时数26)

内容

1．基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性方程和非线性方程，阶，解(通解、特解、隐式解)，初值条件，初值问题。

2．可分离变量的方程。

3．齐次方程dy／dx=ψ(y／x)

4．一阶线性方程，常数变易法，伯努力方程。

5．全微分方程与积分因子。

6．方向场，微分方程的几何意义。

7．一阶隐式微分方程(可解出dy／dx的方程，克莱洛方程，奇解)

8．几种可降阶的二阶方程：d２y／dx２=f(x，dy／dx)，d２y／dx２=f(y，dy／dx)。

9．微分方程的应用举例(物理与几何方面的简单应用)

教学要求

1．理解线性方程与非线性方程，阶，解(通解，特解，隐式解)，初值条件，初值问题等概念。

2．熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程；伯努力方程，全微分方程的求解方法。

3．掌握常数变易法，记住一阶线性方程的通解表达式。

4．了解变量变换和积分因子在求解微分方程中的作用，会作简单的变量变换和会用简单的积分因子解微分方程。

5．理解方向场和积分曲线的关系。

6．掌握克莱洛方程的解法，了解奇解的意义。

7．熟练掌握d２y／dx２=f(x，dy／dx)，d２y／dx２=f(y，dy／dx)的降阶法。

8．会用已有知识建立常微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。

1．一阶线性方程的通解表达式，是指用不定积分表示的和用变上限积分表示的两种形式。

2．简单的积分因子是指那些十分明显的或只含y的积分因子。

(二)常微分方程的一般理论(学时数21)

内容

1．一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理(应用毕卡逐次逼近法)

2．解的延展定理

3．贝尔曼不等式

4．解对初值的连续依赖性定理，解对初值的可微性定理。

5．高阶微方程化成等价的微分方程组，微分方程组和高阶微分方程的初值问题解的存在唯一性定理。

　　教学要求

　　1．熟练掌握毕卡逐次逼近法，并用它证明一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理。2．了解右端函数连续保证初值问题解的存在性。李普希茨条件保证初值问题解的唯一性这些事实。

　　3．理解初值问题解的存在唯一性定理中解的存在区间的意义，理解解的延展概念，理解延展定理的含义(不要求掌握证明)

　　4．掌握贝尔曼不等式及其简单应用。

　　5．理解解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理的含义(不要求掌握它们的证明）6．掌握微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。

　　7．掌握将高阶微分方程化成等价的微分方程组的方法，会将方程组中的结果移植到相应的高阶方程中去。

　　(三)高阶线性微分方程(学时数21)

　　A 内容

1．高阶线性微分方程的一般理论：初值问题的存在唯一性定理，齐次线性方程解的叠加性质，线性相关，线性无关，朗斯基行列式，基本解组，通解的结构，刘维尔公式，线性非齐次方程不同非齐次项所对应的解的叠加原理，线性非齐次方程的通解结构，常数变量法。

　　2．常系数线性方程的解法：复值函数与复值解，常系数线性齐次方程的解法，特征根，特征方程，非齐次项为f(x)=Pｍ(x)eax，f(x)=eax｛AsinβxβxBcosβx，f(x)=Pm(x)｛AsinβxβxBcosβx线性非齐次方程的解法，欧拉方程，质点振动。

　　3．二阶线性微分方程的幂级数解法举例。

　　教学要求

1．熟练掌握高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理，要注意解的存在区间。

　　2．熟练掌握线性齐次方程解的叠加性质，理解线性相关、线性无关、朗期基行列式的概念并掌握它们之间的关系，熟练掌握线性齐次方程通解定理。

　　3．理解线性非齐次方程不同非齐次项所对应的解的叠加原理，熟练掌握线性非齐次方程的通解结构定理，掌握二阶线性非齐次方程的常数变易法。

　　4．会解高阶常系数线性齐次方程，熟练掌握二阶常系数线性齐次方程的解法。

　　5．掌握非齐次项为：

　　f(x)=Pm(x)eax，f(x)=eaxAsinβx，

　　f(x)=eax｛Asinβx Bcosβxf(x)=Pm(x)｛Asinβx Bcosβx的线性齐次方程的解法。

　　6．了解刘维尔公式，对于二阶线性齐次方程，知道一个非零解会利用刘维尔公式求方程的通解。

　　说明

1．求线性非齐次方程的特解时，不限定方法。

　　2．二阶线性微分方程的幂级数解法举例包括广义幂级数。

　　3．上述Pm(x)表示x的m次多项式。

　　(四)线性微分方程(学时数17)

　　A 内容

　　1．线性方程组的矩阵形式，初值问题解的存在唯一性定理。

　　2．线性齐次微分方程组的解的叠加性质，线性相关，线性无关，朗斯基行列式，基本解矩阵，通解的结构，刘维尔公式。

　　3．线性非齐次微分方程组不同非齐次项所对应的解的叠加原理，线性非齐次微分方程组的通解结构，常数变易法。

　　4．常系数线性微分方程组的解法，特征根，特征向量，通解形式。

　　教学要求

1．熟悉线性方程组的矩阵表达形式，以及相应结果的向量、矩阵的表示。

　　2．熟练掌握高阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理，要注意解的存在区间。

　　3．熟练掌握线性齐次方程组解的叠加性质，理解线性相关、线性无关、朗斯基行列式的概念并掌握它们之间的关系，熟练掌握线性齐次方程组通解定理。

　　4．理解线性非齐次方程组不同非齐次项所对应的解的叠加原理，熟练掌握线性齐次方程组的通解结构定理，掌握线性非齐次方程组的常数变易法。

　　5．了解常系数线性齐次方程组的通解形式，熟练掌握二维常系数线性齐次方程组的解法。6．掌握二维常系数线性非齐次方程组的解法。

　　7．了解刘维尔公式。

　　C．说明

对于常系数线性齐次方程组的通解只要求了解它的形式，不要求掌握它的具体表达式。

　　(五) 定性理论与隐定性理论的初步(学时数23)

　　A 内容

　　1．自治系统，相平面，奇点，轨线及其性质

　　2．二维自治线性系统的初等奇点。

　　3．二维自治非线性系统关于奇点的裴戎(Perron)的定理的叙述。

　　4．极限环概念及举例，

　　5．李雅普诺夫关于稳定、渐近稳定、不稳定的概念。

　　6．自治线性系统关于零解稳定性定理，自治非线性系统关于零解稳定性的一次近似定理的叙述。

　　7．自治系统的李雅普诺夫第二方法，关于零解稳定、渐近稳定的定理，李雅普诺夫函数。

　　B 教学要求

1．理解相平面、奇点、轨线等概念，理解轨线的性质。

　　2．能熟练地用方程的系数确定二维自治线性系统的初等奇点的类型和稳定性，了解它们的相图。

　　3．对裴戎(perron)定理只要求了解它的条件和结论，会用裴戎定理判别奇点的类型和稳定性。

　　4．对于极限环只要求通过例子了解它的概念。

　　5．理解李雅普诺夫关于解的稳定、渐近稳定、不稳定的概念

　　6．掌握自治系统关于零解稳定性的一次近似定理。

　　7．理解自治系统的李雅普诺夫函数的概念，理解自治系统的李雅普诺夫第二方法关于零解稳定，渐近稳定的定理。

　　8．会构造简单的李雅普诺夫函数判断自治系统零解的稳定和渐近稳定。

　　C 说明

1．轨线性质是指唯一性和群性。

　　2．自治线性系统零解稳定性定理是指关于零解渐近稳定的充要条件定理和至少有一个特征根实部为正的不稳定定理。CObListCCtrlCode_ParaIndent[1]€

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